La plupart des élèves du Tawjihi comprennent une correction quand ils la lisent, puis restent bloqués devant un nouveau problème. Le remède : une routine appliquée à chaque fois. Écrire ce que l’on cherche, choisir la méthode qui le donne, détailler chaque étape, puis vérifier le résultat. Les trois exemples ci-dessous sont des exercices originaux sur des thèmes du manuel de maths de 12e année, filière scientifique.
La routine en quatre étapes
- 1L’inconnue : écrivez exactement ce que demande l’énoncé (une valeur, un point, une fonction, une matrice).
- 2La méthode : nommez la règle qui donne ce type de résultat (signe de la dérivée, intégration, matrice inverse…).
- 3Les étapes : écrivez-les toutes ; les points récompensent la méthode, pas seulement le résultat final.
- 4La vérification : remplacez dans l’énoncé ou contrôlez avec une seconde méthode.
Exemple 1 : maximum et minimum locaux
Déterminez les extremums locaux de f(x) = x³ − 3x² + 2. Inconnue : les valeurs de x et les valeurs de f correspondantes. Méthode : étude du signe de la dérivée. f′(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2), donc les points critiques sont x = 0 et x = 2. Signe : pour x < 0, f′ > 0 ; entre 0 et 2, f′ < 0 ; pour x > 2, f′ > 0. f admet donc un maximum local f(0) = 2 et un minimum local f(2) = 8 − 12 + 2 = −2.
Erreur classique : s’arrêter à f′(x) = 0. Un point critique n’est un maximum ou un minimum que si f′ change de signe en ce point ; le tableau de signes fait donc partie de la réponse.
Exemple 2 : retrouver une courbe à partir de sa dérivée
Une courbe vérifie f′(x) = 6x² − 4x et passe par (1, 5). Déterminez f(x). Méthode : intégrer, puis utiliser le point. f(x) = 2x³ − 2x² + c. En x = 1 : 2 − 2 + c = 5, donc c = 5 et f(x) = 2x³ − 2x² + 5. Vérification : en dérivant, on retrouve 6x² − 4x, et f(1) = 5.
Erreur classique : oublier la constante c. Sans elle, impossible d’utiliser le point, et l’on obtient une autre courbe.
Exemple 3 : un système linéaire avec des matrices
Résolvez 2x + y = 5 et x − y = 1 à l’aide des matrices. Matrice des coefficients A = [2 1 ; 1 −1], donc |A| = (2)(−1) − (1)(1) = −3, qui n’est pas nul : A est inversible et A⁻¹ = (1/−3)[−1 −1 ; −1 2]. Alors [x ; y] = A⁻¹[5 ; 1] = (1/−3)[−6 ; −3] = [2 ; 1]. Vérification : 2(2) + 1 = 5 et 2 − 1 = 1.
Erreur classique : échanger les termes de la diagonale principale en oubliant de changer le signe de l’autre diagonale, ou diviser par le déterminant avec le mauvais signe.
Avant tout calcul, écrivez ce que vous cherchez. La moitié des mauvaises réponses en maths vient d’un calcul qui ne répond pas à la question posée.
Ce qu’apporte EXAMEV
La banque de maths de 12e année (filière scientifique) d’EXAMEV compte plus de 1 000 questions d’entraînement sur les dérivées, l’intégration et les matrices, classées par leçon, avec une explication pour chaque réponse et un suivi par thème. Les exemples ci-dessus sont des exercices EXAMEV. Pour un planning de révision complet, consultez le planning du Tawjihi sur six semaines de ce blog.