La mayoría de los estudiantes del Tawjihi entienden una solución resuelta cuando la leen, pero se bloquean ante un problema nuevo. La solución es una rutina que uses siempre: escribe qué buscas, elige el método que lo da, muestra cada paso y comprueba el resultado. Los tres ejemplos de abajo son problemas de práctica originales sobre temas del libro de matemáticas de 12.º de ciencias.
La rutina de cuatro pasos
- 1Incógnita: escribe exactamente lo que pide el enunciado (un valor, un punto, una función, una matriz).
- 2Método: nombra la regla que da ese tipo de respuesta (criterio de la primera derivada, integración, matriz inversa…).
- 3Pasos: escribe todos los pasos; los puntos se dan por el método, no solo por el resultado final.
- 4Comprobación: sustituye el resultado o verifícalo con un segundo método.
Ejemplo 1: máximo y mínimo relativos
Halla los extremos relativos de f(x) = x³ − 3x² + 2. Incógnita: los valores de x y los valores de f en ellos. Método: criterio de la primera derivada. f′(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2), así que los puntos críticos son x = 0 y x = 2. Estudia el signo: para x < 0, f′ > 0; entre 0 y 2, f′ < 0; para x > 2, f′ > 0. Por tanto, f tiene un máximo relativo f(0) = 2 y un mínimo relativo f(2) = 8 − 12 + 2 = −2.
Error habitual: quedarse en f′(x) = 0. Un punto crítico solo es máximo o mínimo si f′ cambia de signo en él, así que la tabla de signos forma parte de la respuesta.
Ejemplo 2: hallar una curva a partir de su derivada
Una curva cumple f′(x) = 6x² − 4x y pasa por (1, 5). Halla f(x). Método: integrar y después usar el punto. f(x) = 2x³ − 2x² + c. En x = 1: 2 − 2 + c = 5, luego c = 5 y f(x) = 2x³ − 2x² + 5. Comprobación: al derivar sale 6x² − 4x, y f(1) = 5.
Error habitual: olvidar la constante c. Sin ella no puedes usar el punto y la respuesta es otra curva.
Ejemplo 3: un sistema lineal con matrices
Resuelve 2x + y = 5 y x − y = 1 con matrices. Matriz de coeficientes A = [2 1; 1 −1], así que |A| = (2)(−1) − (1)(1) = −3, que no es cero, de modo que A tiene inversa: A⁻¹ = (1/−3)[−1 −1; −1 2]. Entonces [x; y] = A⁻¹[5; 1] = (1/−3)[−6; −3] = [2; 1]. Comprobación: 2(2) + 1 = 5 y 2 − 1 = 1.
Error habitual: intercambiar la diagonal principal pero olvidar cambiar el signo de la otra diagonal, o dividir por el determinante con el signo equivocado.
Antes de calcular nada, escribe qué intentas hallar. La mitad de las respuestas incorrectas en los exámenes de matemáticas vienen de resolver otra cosa.
Cómo te ayuda EXAMEV
El banco de matemáticas de ciencias de 12.º de EXAMEV tiene más de 1000 preguntas de práctica sobre derivadas, integración y matrices, ordenadas por lección, con una explicación para cada respuesta y progreso por tema. Los ejemplos de esta guía son práctica de EXAMEV. Para un calendario de repaso completo, consulta el plan de seis semanas para el Tawjihi de este blog.