Die meisten Tawjihi-Schülerinnen und -Schüler verstehen eine Musterlösung, wenn sie sie lesen – und erstarren dann vor einer neuen Aufgabe. Was hilft, ist eine feste Routine für jede Aufgabe: aufschreiben, was gesucht ist, die passende Methode wählen, jeden Schritt zeigen und das Ergebnis prüfen. Die drei Beispiele unten sind eigene Übungsaufgaben zu Themen aus dem Mathebuch der Klasse 12 (naturwissenschaftlicher Zweig).
Die Routine in vier Schritten
- 1Gesucht: Schreib genau auf, wonach die Aufgabe fragt (ein Wert, ein Punkt, eine Funktion, eine Matrix).
- 2Methode: Nenn die Regel, die genau diese Art von Ergebnis liefert (Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung, Integration, inverse Matrix …).
- 3Schritte: Schreib jeden Schritt auf – Punkte gibt es für den Lösungsweg, nicht nur für das Endergebnis.
- 4Probe: Setz das Ergebnis ein oder prüf es mit einem zweiten Verfahren.
Beispiel 1: lokales Maximum und Minimum
Bestimme die lokalen Extremwerte von f(x) = x³ − 3x² + 2. Gesucht: die x-Werte und die zugehörigen Funktionswerte. Methode: Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung. f′(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2), die kritischen Stellen sind also x = 0 und x = 2. Vorzeichen prüfen: Für x < 0 ist f′ > 0, zwischen 0 und 2 ist f′ < 0, für x > 2 ist f′ > 0. Also hat f ein lokales Maximum f(0) = 2 und ein lokales Minimum f(2) = 8 − 12 + 2 = −2.
Typischer Fehler: bei f′(x) = 0 aufhören. Eine kritische Stelle ist nur dann ein Maximum oder Minimum, wenn f′ dort das Vorzeichen wechselt – die Vorzeichentabelle gehört deshalb zur Antwort.
Beispiel 2: eine Kurve aus ihrer Ableitung bestimmen
Eine Kurve hat f′(x) = 6x² − 4x und geht durch den Punkt (1, 5). Bestimme f(x). Methode: integrieren, dann den Punkt einsetzen. f(x) = 2x³ − 2x² + c. Für x = 1: 2 − 2 + c = 5, also c = 5 und f(x) = 2x³ − 2x² + 5. Probe: Ableiten ergibt 6x² − 4x, und f(1) = 5.
Typischer Fehler: die Konstante c vergessen. Ohne sie kannst du den Punkt nicht nutzen, und du landest bei einer anderen Kurve.
Beispiel 3: ein lineares Gleichungssystem mit Matrizen
Löse 2x + y = 5 und x − y = 1 mit Matrizen. Koeffizientenmatrix A = [2 1; 1 −1], also |A| = (2)(−1) − (1)(1) = −3. Das ist nicht null, A ist also invertierbar: A⁻¹ = (1/−3)[−1 −1; −1 2]. Dann gilt [x; y] = A⁻¹[5; 1] = (1/−3)[−6; −3] = [2; 1]. Probe: 2(2) + 1 = 5 und 2 − 1 = 1.
Typischer Fehler: die Hauptdiagonale vertauschen, aber vergessen, bei der Nebendiagonale die Vorzeichen zu ändern – oder durch die Determinante mit falschem Vorzeichen teilen.
Schreib auf, was du suchst, bevor du irgendetwas rechnest. Die Hälfte der falschen Antworten in Matheprüfungen entsteht, weil nach dem Falschen gerechnet wurde.
So hilft dir EXAMEV
Die Mathe-Fragenbank der Klasse 12 (naturwissenschaftlicher Zweig) von EXAMEV hat über 1.000 Übungsfragen zu Ableitungen, Integration und Matrizen, nach Lektion geordnet, mit einer Erklärung zu jeder Antwort und Fortschritt pro Thema. Die Beispiele hier sind EXAMEV-Übungen. Einen kompletten Wiederholungsplan findest du im Sechs-Wochen-Plan fürs Tawjihi in diesem Blog.